Calibration de la vitesse dans un modèle de Vasicek

La modélisation du taux court r s’écrit

avec :

• b valeur d’équilibre long terme (à l’infini)
• a vitesse de retour vers la valeur d’équilibre,
• v volatilité,
• W mouvement brownien

L’espérance du taux court à l’instant t vu de l’instant 0 s’écrit :

La demi-vie du processus peut se définir comme le temps mis, en espérance, par le processus, pour parcourir la moitié du chemin entre sa valeur aujourd’hui r(0) et sa valeur d’équilibre b. Formellement, on cherche t* tel que :

ce qui donne :

soit

Ainsi, calibrer la variable a est équivalent à estimer la demie vie du processus.

t* s’exprime en années. Par exemple, si une année compte 365 jours

Remarques :

1/ L’équation 

donne t=∞ : b est bien la valeur d’équilibre à l’infini.

2/ Le marché attribue en général une valeur pour la vitesse a entre 0.2 et 0.6 ce qui correspond grossièrement a des demi-vies entre 1 et 3 ans et demi.

3/ La demi-vie peut s’estimer directement sur des données historiques. Attention à son utilisation en risque neutre toutefois.