Small Data en assurance vie : en finir avec les lois de mortalité artificielles

Cet article illustre l’utilisation des techniques du small data pour l’estimation de loi de mortalité en assurance vie.

Afin de mettre en œuvre différentes constructions de loi de mortalité dans un contexte de données limitées, nous allons utiliser un exemple emprunté au chapitre 6 de Tosetti et al.

Les données fournies correspondent aux 15 variables aléatoires de durée de vie T_z pour z=70,…,84 pour les 15 groupes de populations (les données brutes sont en annexe). Dans un premier temps, pour chaque groupe, nous appliquons le modèle binomial classique associé à une probabilité de décès _{1 0} q_z = P(T_z ϵ [0,1]), noté q(z) ou q_z. Son estimation fréquentiste est le rapport nombre de décès / nombre d’individus observés, soit :

en reprenant les notations de Tosetti. Les intervalles de confiances exacts à 95% sont également donnés dans le graphique ci-dessus.

Comme signalé par les auteurs, il reste un problème fondamental de construction : on s’attend à avoir les q(z) croissants avec l’âge z, or il y a dans l’estimation des décrochements trop importants. Etant donné la taille des intervalles de confiance, ceci confirme bien que nos données sont trop pauvres pour être utilisées sans autre traitement.

Les auteurs proposent des lissages par ajustements selon successivement des fonctions croissantes « simples », par décalage d’âge avec la table TPRV93 (l’exemple date un peu…) et avec les lois de Gompertz et Makeham. Petauton évoque d’autres méthodes devenues standard : moyennes mobiles,  splines et surtout Whittaker-Henderson qui peuvent aussi être appliquées.

 

Les méthodes précédentes peuvent être efficaces mais :

• Elles sont sans véritable fondement quant à leur utilisation. Par exemple, pourquoi utiliser une distance en carré et non en valeur absolue ou en quantile dans la méthode Wittacker-Henderson ? Comment choisir le juste nombre de nœuds et leur place dans la méthode par splines ? La taille de la fenêtre dans la moyenne mobile ? Ces approches tendent à considérer les valeurs anormales comme aberrantes alors même qu’elles seraient situées dans l’intervalle de confiance exact.
• Elles sont justifiées a posteriori par un test du chi deux, qui n’est qu’asymptotique. Or dans notre exemple, les données sont peu nombreuses et elles pourraient l’être encore moins ! L’appréciation est réalisée « en moyenne ».
• Elles ne tiennent pas compte de l’incertitude des données initiales.
• Le choix du paramétrage z = 2, h = 5 de l’approche Whittacker-Henderson est en général réalisé a posteriori, en comparant par exemple différents graphiques qui, à vue d’œil, lisse au mieux la courbe tout en restant fidèle à l’évolution globale des données. Une procédure rigoureuse et systématique d’un tel choix apparait lourde et difficile à mettre en place.
• Quant à la méthode du décalage d’âge, elle intègre les éventuels défauts de sa table de référence et reste une méthode économique pour obtenir un lissage acceptable, en fait déjà réalisé dans la construction de la table de référence. La métrique utilisée (ici la distance du chi deux) n’est toutefois pas la seule utilisable.

 

Globalement, les méthodes présentées ont toutes le défaut de nécessiter des choix arbitraires. L’approche small data propose une alternative afin d’éviter cet inconvénient majeur dans le cadre d’une démarche scientifique et les défauts particuliers relevés plus haut.

 

Les techniques vues en assurance non vie ne sont pas directement applicables car la « physique » des données n’est pas la même :

• en assurance non vie, on observe 1 phénomène dont le résultat peut tomber dans K classes
• Ici on observe des expériences de mortalité indépendantes (pour K classes d’âges observés) dont le résultat est décès dans l’année ou non
• Utiliser la loi reconstituée du taux de survie à un âge donné (pour nous ramener à l’estimation d’une seule loi de probabilité come en assurance non vie) n’est pas possible car nous n’avons pas d’échantillon d’observation pour cette loi.

 

L’approche consiste alors à estimer chacun des taux de mortalité à partir d’échantillons indépendants en imposant l’hypothèse de croissance avec l’âge.

L’estimation s’obtient par simulation de Monte Carlo. Le graphique ci-dessous représente différentes reconstitutions.

Quelques rappels des bénéfices de l’approche small data :

• La technique reste cohérente avec la « physique » des données
• C’est une technique d’estimation et non un pur outil numérique de lissage
• Pas de sensibilité au paramétrage d’une technique
• Pas de sensibilité à une métrique
• On peut disposer de l’incertitude pour chaque taux :

Nous avons obtenu une estimation pour la famille q_z des taux de décès annuel. Ces taux de décès permettent de reconstituer une table de mortalité adaptée à l’information disponible sans introduire de modélisation exagérée ou d’avoir recours à un paramétrage dont le réglage est trop discrétionnaire et non réellement justifiable.

Ces estimations ont tenu compte d’un avis d’expert qui impose une croissance des taux de décès annuel avec l’âge atteint. Ceci a pu être réalisé sans l’introduction d’une forme paramétrique quelconque sur les taux.

Cette approche permet d’intégrer en amont les contraintes de construction de la table d’expérience sans autre choix de modèles et/ou paramètres, choix toujours délicat à justifier.

 

Bibliographie

Tosetti Alain, Béhar Thomas, Fromenteau Michel, Ménart Stéphane, Assurance, Comptabilité – Réglementation – Actuariat, AAA, Economica, 2011

 

Données utilisées