Small Data pour l’extension de table de mortalité en assurance vie

On observe souvent la mortalité d’une partie des classes d’âges d’une population et se pose la question d’apprécier la mortalité sur les classes d’âges non observées (en général des classes d’âges plus élevées. Dans l’exemple utilisé dans l’article Small Data en assurance vie : en finir avec les lois de mortalité artificielles, les données sont disponibles de 70 à 84 ans. On peut s’interroger alors sur les taux de mortalité aux âges supérieurs. 130 ans est un âge limite souvent utilisé pour la fermeture des tables.

Parmi les approches classiques d’extension de table de mortalité, l’approche Denuit-Goderniaux (DG) permet de prolonger les lissages usuels. Ses caractéristiques, qui conduisent à critiquer cette méthode sont :

• C’est un modèle paramétrique
• qui intègre des contraintes sur la forme de la table
• dont les résultats sont très dépendants du choix d’une métrique (estimation de paramètres par régression linéaire)
• Enfin, il est souvent nécessaire d’utiliser un lissage de jonction entre les taux déjà lissés et les taux extrapolés.

Ces points ont déjà tous été commentés dans les articles « small data » précédents. D’ailleurs, cette approche est plus une technique d’extrapolation qu’une véritable technique d’extension : cette astuce numérique s’éloigne assez vite de la physique (ou de la réalité) de l’estimation de loi probabilité que l’on cherche à réaliser.

 

L’approche bayésienne travaille avec 60 classes d’âges, de 70 à 129 ans, de manière identique à la précédente (présenté dans cet article).

De même, toujours à l’aide de simulations de Monte Carlo, nous obtenons un taux de mortalité sur l’ensemble des tranches d’âges supérieurs.

Les deux techniques de prolongement donnent des résultats très différents ! Pourquoi ? L’écart entre les deux courbes représente l’enrichissement artificiel de l’information par le modèle paramétrique qui présente une forme convexe sur la tranche d’âge 85 à 110 ans environ puis une forme concave sur le reste de la courbe. Cette information complètement exogène provient de « l’observation »  de tables de mortalités plus riches qui ont ces caractéristiques de mortalité et qui ont été intégrées au sein de l’approche.

L’approche bayésienne travaille elle avec une information beaucoup moins riche. Cette information minimale peut être complétée sur l’expertise exogène le permet. Par exemple, nous pouvons contrôler la convexité de la courbe en enrichissant l’information aux âges 95 et 101 ans puis la concavité aux âges 120 et 127 ans.

Cette fois on obtient une courbe plus conforme aux attentes.

Les résultats sont identiques mais les différences sont énormes !

• Avec l’approche bayésienne, on a l’avantage d’avoir une totale maîtrise des étapes de modélisation et de pouvoir évaluer le besoin d’information complémentaire pour construire la loi de mortalité pas à pas.
• On peut ainsi piloter la construction de la table
• On ne subit plus le modèle paramétrique
• La méthode est souple. Si on voulait imposer des taux de mortalité à certains âges au modèle DG, il devient une autre méthode qui nécessite d’autres techniques de calibrage.
• Grâce à l’approche bayésienne, on ne change pas de méthode, on n’intègre de l’information.