Calibration de la vitesse dans un modèle de Vasicek

La modélisation du taux court r s’écrit
vasicek

avec :

  • b valeur d’équilibre long terme (à l’infini)
  • a vitesse de retour vers la valeur d’équilibre,
  • v volatilité,
  • W mouvement brownien

L’espérance du taux court à l’instant t vu de l’instant 0 s’écrit :

esperance1

La demi-vie du processus peut se définir comme le temps mis, en espérance, par le processus, pour parcourir la moitié du chemin entre sa valeur aujourd’hui r(0) et sa valeur d’équilibre b. Formellement, on cherche t* tel que :

esperance2

ce qui donne :

equation_demi_vie

soit

demie-vie_vitesse

Ainsi, calibrer la variable a est équivalent à estimer la demie vie du processus.

t* s’exprime en années. Par exemple, si une année compte 365 jours
tableau_vitesse

Remarques :

1/ L’équation vasicek_equilibre

donne t=∞ : b est bien la valeur d’équilibre à l’infini.

2/ Le marché attribue en général une valeur pour la vitesse a entre 0.2 et 0.6 ce qui correspond grossièrement a des demi-vies entre 1 et 3 ans et demi.

3/ La demi-vie peut s’estimer directement sur des données historiques. Attention à son utilisation en risque neutre toutefois.

 

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Réduction du risque de défaut, de contrepartie et de crédit

Comme nous l’avons déjà évoqué, dès qu’un intervenant externe intervient dans la transaction, un risque de contrepartie génère un SCR dédié que les produits soient standards comme les obligations d’entreprises ou plus complexes comme les produits dérivés, structurés ou titrisés.

La diversification des émetteurs est un premier outil de réduction du risque de perte en cas de trop forte concentration. La directive Solvabilité 2 l’incite d’ailleurs : une trop forte concentration d’un même émetteur immobilise du capital. Toutefois, comme nous l’avons déjà mentionné, elle est inefficace en cas de mouvement défavorable global de marché. Un élément important est donc de répartir son portefeuille sur différents types d’entreprises. Cette diversification sectorielle peut apporter une protection lorsque les facteurs de risque affectant les émetteurs sont limités à un domaine industriel. Dans une autre mesure, la diversification géographique peut jouer un rôle protecteur au sein même de la zone Euro. Au-delà, cela impliquerait de couvrir l’exposition à une devise (quand elle apporte un risque réel plus important que le seul risque de l’émetteur).

 

Les produits dérivés de crédit offre un accès à la protection des risques extrêmes liés à une contrepartie (cf. [3] par exemple pour une présentation générale des dérivés de crédit). L’exposition au risque de défaut des obligations d’entreprises ou des prêts peut être réduite en achetant un Credit Default Swap (CDS) qui, en échange d’un paiement de primes à échéances régulières, offre une protection (sous forme d’un remboursement du partie du principal) jusqu’à l’échéance suivante. Mais attention, dès lors qu’un transfert de risque de défaut est engagé, le risque de la contrepartie (qui accepte ce risque) doit être évalué et pris en compte à travers un SCR dédié dans le cadre de Solvabilité 2.

Au choix, la protection porte sur un seul émetteur (mono support) ou sur un ensemble d’émetteurs (macro couverture). Dans ce dernier cas, le panier d’entités de référence n’est toujours pas la réplication des émetteurs effectivement en portefeuille mais celle d’un indice de marché. Un risque de base subsiste qui entraine un risque économique réel et une réduction seulement partielle du SCR spread.

 

En allant plus loin, il existe des CDS « first to default basket » qui ne protègent que du premier événement de crédit parmi le panier, des CDS subordonnés [respectivement séniors] qui compensent les pertes d’un portefeuille en cas de défaut jusqu’à [respectivement à partir] d’un certain montant ou encore des CDS à tranches pour des pertes d’un montant compris entre deux bornes (point d’attachement et point de détachement), et également des options sur CDS (ou CD Swaptions).

Mentionnons un autre produit, les options sur spread de credit (CSO pour Credit Spread Options) dont le sous-jacent est un produit soumis au risque de spread de crédit, soit directement, soit à travers une obligation. Un put permettra à son acheteur de vendre un titre obligataire à prix évalué avec un spread fixé à l’avance (c’est le spread d’exercice). Contrairement au CDS, les CSO ne sont pas déclenchées par un événement de crédit prédéfini, mais exercées selon les variations du spread de crédit. Le SCR crédit pourra être encadré à l’aide de ces options.

 

Notons que même si une chambre de compensation intervient pour sécuriser la transaction, le risque de contrepartie de cet organisme ne doit pas être oublié.

Constats, opinions et incertitudes sur Solvabilité 2

Cet article donne une vision de la directive et examiné les principales classes d’actifs dan ce nouvel environnement.

SII_constats_opinions_incertitudes_S2constats

Nb mot de passe du fichier : S2constats

Une remarque sur la performance des obligations à taux fixe

Un raisonnement simpliste consiste à dire que si les taux d’intérêt vont monter, il faut se placer à court terme – jusqu’à détenir un actif monétaire – et inversement, posséder des obligations lorsque les taux baissent, afin de générer des plus-values. Cette vision doit en réalité être affinée car plusieurs éléments sont importants : l’amplitude du mouvement anticipé des taux à la hausse ou à la baisse, la vitesse de ce mouvement et le rôle de la pente des taux.

 

Les sources de rentabilité d’une obligation à taux fixe

Lorsqu’une obligation ne présente aucun risque de défaut (comme les OATs) et que l’investisseur décide de la conserver jusqu’à maturité, celui-ci aura empoché tous les coupons et aura dégagé une plus-value correspondant au taux du coupon. A ce rendement s’ajoute la performance dégagée par le réinvestissement des coupons touchés sur la période considérée.

De plus, avec l’écoulement du temps, le prix de marché de l’obligation va tendre vers son prix de remboursement à l’échéance (le pair). Ainsi, si l’actif a été acheté en dessous du pair (resp. au dessus), la réduction du temps à maturité va provoquer mécaniquement un gain (resp. une perte) en capital, même si les taux ne bougent pas. On appelle gain d’accumulation en capital cette variation du prix dû au seul écoulement du temps.

Jusqu’ici que les mouvements de taux n’ont pas influencé le P&L dû à la détention de l’obligation. Ceux-ci influencent la valeur de l’obligation en cours de vie et génèrent l’écart de valeur entre le prix de marché observé à un instant quelconque et le prix à ce même instant résultant du gain d’accumulation en capital.

Ce découpage des performances lisse les chocs des taux et résume leurs impacts en fin de période de détention en y concentrant, pour simplifier, le gain de marché.

 

L’impact de la pente des taux

Comme le montre la règle de décision ci-dessous, la performance dépend de la pente des taux actuelle, de sa variation et de l’horizon sur lequel le mouvement se produit.

 

On note r (resp. R) le taux court terme (resp. long terme) et  dr (resp. dR) sa variation sur l’horizon H. On note S la sensibilité (>0) de la position en titres long terme de maturité T. Le rendement des obligations est la somme du rendement courant et des plus ou moins values réalisées à horizon. Il s’écrit (pour plus de clarté, on suppose que le mouvement des taux se fait immédiatement)  (R+dR)*H – S * dR alors que le rendement monétaire (de sensibilité nulle) s’écrit lui (r+dr) * H  sur la période. En arrangeant la différence des deux rendements, l’investissement obligataire est plus intéressant lorsque (R-r)*H – (dR-dr)*H > S* dR où R-r désigne la pente des taux et  dR-dr la variation de cette pente sur l’horizon.

 

Le raisonnement simpliste consiste à supposer que H = 0 et incite à s’éloigner des taux longs lorsque  i.e. quand les taux montent. Une anticipation de hausse des taux ne signifie donc pas toujours de rester éloigné des actifs obligataires

Allocation d’actifs sous contrainte de provisionnement : partie 3 – Rentabilité et pilotage du bilan, du résultat financier

L’objectif de rendement attendu (objectif c) se situe entre 4 et 5%.  Cette performance est atteinte selon les ratings sur des maturités très différentes comme le montre le graphique suivant.

courbe taux euro 20 01 09

Ainsi, si l’on résume la maturité nécessaire à acheter aujourd’hui en fonction du rating (au moins investment grade selon le cahier des charges) pour obtenir le rendement minimal souhaité, nous avons :

Rating

Maturité

Souverain

> 20 ans

AAA

> 7 ans

AA

> 5 ans

A

> 2 ans

BBB

> 3 mois

Ceci souligne plusieurs éléments :

– l’augmentation du poids de titres amortissables dans le portefeuille peut permettre d’augmenter la prise de risque sur les obligations (traduite par une duration plus forte à l’actif qu’au passif) car les moins-values latentes ne sont pas inscrites.

– la poche doit être gérée activement (au moins en duration) au contraire d’un OPCVM de taux dont la duration est stable dans le temps. En particulier, bien sélectionner les émetteurs, les diversifier mais pas uniquement en terme de rating car ce n’est pas une variable très dynamique et peut ne pas intégrer une augmentation des risques récente. Il faudra donc imposer une diversification sur d’autres critères par exemple en terme de secteur industriel.

Cette gestion est dédiée à l’organisme qui la sous-traite et logiquement va coûter plus chère que l’investissement dans un OPCVM ouvert (qui offre déjà tous ces facteurs).

– il faut faire un choix de l’obtention de rendement entre  duration de l’actif élevée qui augmente le risque de taux (donc de PRE) mais apporte des rendements élevés avec un rating rassurant et un plus faible risque de taux mais avec une dégradation du rating du portefeuille pour atteindre un même niveau de rendement.

– enfin, peut-être ne pas écarter le risque de modification de réglementation concernant l’amortissement de titres (risque de passage en valeur de marché par exemple)

Afin de maitriser le risque de taux et de crédit, je suggère que les maturités les plus grandes se trouvent sur les émetteurs les mieux notés. L’allongement de cette maturité compensera partiellement la baisse de rendement. Toutefois, il faut s’imposer une maturité maximale. Pour contenir le risque de taux, elle est fixée aujourd’hui à 5 ans (en moyenne).

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