Calibration de la vitesse dans un modèle de Vasicek

La modélisation du taux court r s’écrit
vasicek

avec :

  • b valeur d’équilibre long terme (à l’infini)
  • a vitesse de retour vers la valeur d’équilibre,
  • v volatilité,
  • W mouvement brownien

L’espérance du taux court à l’instant t vu de l’instant 0 s’écrit :

esperance1

La demi-vie du processus peut se définir comme le temps mis, en espérance, par le processus, pour parcourir la moitié du chemin entre sa valeur aujourd’hui r(0) et sa valeur d’équilibre b. Formellement, on cherche t* tel que :

esperance2

ce qui donne :

equation_demi_vie

soit

demie-vie_vitesse

Ainsi, calibrer la variable a est équivalent à estimer la demie vie du processus.

t* s’exprime en années. Par exemple, si une année compte 365 jours
tableau_vitesse

Remarques :

1/ L’équation vasicek_equilibre

donne t=∞ : b est bien la valeur d’équilibre à l’infini.

2/ Le marché attribue en général une valeur pour la vitesse a entre 0.2 et 0.6 ce qui correspond grossièrement a des demi-vies entre 1 et 3 ans et demi.

3/ La demi-vie peut s’estimer directement sur des données historiques. Attention à son utilisation en risque neutre toutefois.

 

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Réduction du risque de défaut, de contrepartie et de crédit

Comme nous l’avons déjà évoqué, dès qu’un intervenant externe intervient dans la transaction, un risque de contrepartie génère un SCR dédié que les produits soient standards comme les obligations d’entreprises ou plus complexes comme les produits dérivés, structurés ou titrisés.

La diversification des émetteurs est un premier outil de réduction du risque de perte en cas de trop forte concentration. La directive Solvabilité 2 l’incite d’ailleurs : une trop forte concentration d’un même émetteur immobilise du capital. Toutefois, comme nous l’avons déjà mentionné, elle est inefficace en cas de mouvement défavorable global de marché. Un élément important est donc de répartir son portefeuille sur différents types d’entreprises. Cette diversification sectorielle peut apporter une protection lorsque les facteurs de risque affectant les émetteurs sont limités à un domaine industriel. Dans une autre mesure, la diversification géographique peut jouer un rôle protecteur au sein même de la zone Euro. Au-delà, cela impliquerait de couvrir l’exposition à une devise (quand elle apporte un risque réel plus important que le seul risque de l’émetteur).

 

Les produits dérivés de crédit offre un accès à la protection des risques extrêmes liés à une contrepartie (cf. [3] par exemple pour une présentation générale des dérivés de crédit). L’exposition au risque de défaut des obligations d’entreprises ou des prêts peut être réduite en achetant un Credit Default Swap (CDS) qui, en échange d’un paiement de primes à échéances régulières, offre une protection (sous forme d’un remboursement du partie du principal) jusqu’à l’échéance suivante. Mais attention, dès lors qu’un transfert de risque de défaut est engagé, le risque de la contrepartie (qui accepte ce risque) doit être évalué et pris en compte à travers un SCR dédié dans le cadre de Solvabilité 2.

Au choix, la protection porte sur un seul émetteur (mono support) ou sur un ensemble d’émetteurs (macro couverture). Dans ce dernier cas, le panier d’entités de référence n’est toujours pas la réplication des émetteurs effectivement en portefeuille mais celle d’un indice de marché. Un risque de base subsiste qui entraine un risque économique réel et une réduction seulement partielle du SCR spread.

 

En allant plus loin, il existe des CDS « first to default basket » qui ne protègent que du premier événement de crédit parmi le panier, des CDS subordonnés [respectivement séniors] qui compensent les pertes d’un portefeuille en cas de défaut jusqu’à [respectivement à partir] d’un certain montant ou encore des CDS à tranches pour des pertes d’un montant compris entre deux bornes (point d’attachement et point de détachement), et également des options sur CDS (ou CD Swaptions).

Mentionnons un autre produit, les options sur spread de credit (CSO pour Credit Spread Options) dont le sous-jacent est un produit soumis au risque de spread de crédit, soit directement, soit à travers une obligation. Un put permettra à son acheteur de vendre un titre obligataire à prix évalué avec un spread fixé à l’avance (c’est le spread d’exercice). Contrairement au CDS, les CSO ne sont pas déclenchées par un événement de crédit prédéfini, mais exercées selon les variations du spread de crédit. Le SCR crédit pourra être encadré à l’aide de ces options.

 

Notons que même si une chambre de compensation intervient pour sécuriser la transaction, le risque de contrepartie de cet organisme ne doit pas être oublié.

Réduction du risque de taux

Le SCR de taux Solvabilité 2 met en évidence les écarts de duration entre les investissements et les engagements (en particulier les taux garantis et les taux techniques des différents contrats) mais également les écarts sur chaque segment de la courbe de taux. Il est en effet courant pour des engagements de retraite que les actifs détenus par les assureurs aient une duration plus faible que leur passif (ou inversement en assurance dommage), cet écart focalisant toute l’attention. Ne pas tenir compte de mouvements de la courbe de taux plus complexes que la simple translation implique des risques de pertes liés à la convexité et des coûts en termes d’immobilisation de capital.

Une première solution, évidente, est de modifier son portefeuille obligataire en allongeant ou réduisant les maturités des titres détenus. Toutefois, des ventes peuvent entraîner des mouvements indésirables sur la réserve de capitalisation. Dans ce cas, l’utilisation de produits dérivés pourra être plus appropriée.

L’objectif est de modifier la duration de l’obligation en la combinant avec un swap de taux qui échange un taux fixe contre un taux flottant ou vice versa. En effet, on rappelle que la duration d’une obligation à taux flottant est très faible. Si l’on souhaite augmenter la duration, il faut recevoir le coupon à taux fixe et payer le taux variable (swap prêteur), à l’inverse pour diminuer la duration, c’est un swap emprunteur qu’il faut conclure. Ainsi, la combinaison d’un panier de swap et d’un modèle de gamme des taux (pour analyser les déplacements non parallèles de la courbe de taux) à son portefeuille obligataire permet une gestion fine du risque de taux.

Plus élaboré, il est possible d’utiliser ces swaps comme sous-jacent de produits optionnels. Selon le besoin on achète alors une swaption sur swap payeur ou receveur de taux fixe. D’autres produits optionnels, les caps bénéficient de (donc couvrent) la hausse de taux à condition que le mouvement de taux génèrent un profit supérieur à la prime et plafonnent (ou capent) le coût d’un emprunt à taux variable. Les floors bénéficient d’une baisse de taux et ainsi fixent un plancher minimum (le floor) de rémunération à un emprunt à taux variable. Leurs combinaisons, tel le collar, permettent d’affiner les positions en fonction des anticipations.

Ces produits dérivés engendrent un risque de défaut de la contrepartie sur les intérêts (non le principal) et donc un coût en capital associé. De plus, par exemple pour un swap, l’écart de notation entre les deux intervenants est rémunéré par un spread qui s’ajoute ou se soustrait selon. Leur utilisation ne peut donc se borner à une simple analyse de taux.

Quelques remarques sur la gestion des produits garantis

On revoit les grands principes de construction d’un produit à capital garanti avant de s’intéresser à l’ensemble des risques puis aux techniques de rebalancement que l’on compare. On termine par un point sur la gestion avec l’une de ces techniques la « time discipline ».

Remarques gestion produits garantis
Mot de passe : capgar

Gestion du risque de volatilité : couverture d’options et corrélation

Gestion du risque de volatilité : couverture d’options et corrélation
On s’intéresse ici à la couverture d’une option (exotique ou non) sur un certain sous-jacent S à l’aide d’une option sur un second actif M correlé positivement avec le premier. Cette deuxième option doit permettre de couvrir le risque de volatilité de la première en tenant compte de la corrélation des deux actifs concernés.
Cette situation trouve pleinement son intérêt lorsque la première option n’est pas listée (cas d’options exotiques ou d’options portant sur des sous-jacent non standard comme un fond) alors que la seconde l’est. Ceci permet de transférer le risque de volatilité d’un marché non liquide à un marché liquide sur lequel on pourra (saura) mieux se prémunir du risque ou même s’en débarrasser.

Mot de passe : risqvol

Remarque : l’application de ce type de résultat paraît délicate tant l’estimation suffisamment précise et robuste des paramètres semble difficile.

Sur-réplication et Volatilité Incertaine : Options Européennes, Américaines et Passeports

Sur-réplication et Volatilité Incertaine : Options Européennes, Américaines et Passeports (PhD Thesis, 196p)
Malgré une littérature académique très riche, il n’y a pas de consensus pour modéliser la volatilité stochastique d’un sous-jacent. Une approche s’est alors développée où l’on recherche les stratégies qui vont (sur-)couvrir l’actif contingent quel que soit le modèle, tant que la volatilité reste dans un intervalle dont les bornes sont connues, sans autre restriction.

Un premier objectif de cette thèse a consisté à unifier et étendre les résultats déjà existants sur les options européennes dans un cadre commun. Un deuxième but a été de traiter le cas des options américaines. Nous caractérisons le prix par un problème de contrôle stochastique sur la volatilité et sur les temps d’arrêt. Un dernier objectif est de traiter les options passeports européennes et américaines. La caractérisation est encore un problème de contrôle stochastique où intervient de plus un contrôle sur la stratégie de trading de l’acheteur de l’option.

Ces caractérisations ne sont valables que pour des profils d’options très réguliers inexistants dans la pratique. Nous les étendons également au cas réaliste où la fonction payoff est continue.
D’un point de vue analytique, le calcul des prix demande la résolution d’une équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) – cas européen – ou d’un système d’inéquations de type HJB – cas américain -, munis d’une condition initiale.

password : volincertaine

Super-hedging Strategies and Uncertain Volatility : European, American and Passport Options
Despite a large number of theoretical works, there is no unique way to model the stochastic volatility of an underlying. A new approach has been developed where one determines the (super)hedging strategies which are admissible for any model where the volatility is lying in a known interval without other restriction.

In this thesis, our first objective standardizes and develops the existing results on European options in a common setting. A second objective is the study of American options. We characterize the price by a stochastic control problem with a control over volatility and over stopping times. A last objective is the study of European and American passport options. The prices are characterized by the same kind of stochastic control problem with moreover a control over all the trading strategies of the option’s buyer.

All those characterizations are valid for only very smooth payoff functions. We extend them to the practical case where the payoff functions are merely continuous.
From an analytic point of view the computation of those prices is given by the resolution of Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations (European case) or of a system of HJB inequations (American case) with an initial condition.

Etude de la notion de Volatilité Locale

Selon l’observation faite sur les marchés, il est apparu naturel de modéliser la volatilité comme un processus aléatoire. Cela a permis d’expliquer pourquoi les options avec différents strikes et maturités ont des volatilités implicites Black-Scholes (BS) différentes et ainsi le smile de volatilité.
Mais les modèles à volatilité stochastique sont extrémement difficiles à calibrer avec les données obtenues à partir des prix des options standards. Pour pricer les options exotiques, on a recherché d’autres directions, compatibles avec l’existence du smile de volatilité.
Le point important est venu de Dupire d’une part et Derman, Kani d’autre part, qui ont remarqué (sous la risque-neutralité) qu’il existe un unique processus de diffusion (représentant la dynamique du sous-jacent) compatible avec les prix des options européennes. C’est cet unique coefficient de diffusion σ_{L}(S,t) obtenu que l’on appelle fonction de volatilité locale.
Les modèles à volatilité locale ne représente pas une classe à part de modèles, mais une simplification qui permet de pricer les options exotiques de façon consistente avec les prix des options européennes.
Nous verrons que la volatilité locale est en fait une moyenne sur toutes les volatilités instantanées.
Étude de la notion de_Volatilité_Locale

NB : le mot de passe du fichier est volloc