Calibration de la vitesse dans un modèle de Vasicek

La modélisation du taux court r s’écrit
vasicek

avec :

  • b valeur d’équilibre long terme (à l’infini)
  • a vitesse de retour vers la valeur d’équilibre,
  • v volatilité,
  • W mouvement brownien

L’espérance du taux court à l’instant t vu de l’instant 0 s’écrit :

esperance1

La demi-vie du processus peut se définir comme le temps mis, en espérance, par le processus, pour parcourir la moitié du chemin entre sa valeur aujourd’hui r(0) et sa valeur d’équilibre b. Formellement, on cherche t* tel que :

esperance2

ce qui donne :

equation_demi_vie

soit

demie-vie_vitesse

Ainsi, calibrer la variable a est équivalent à estimer la demie vie du processus.

t* s’exprime en années. Par exemple, si une année compte 365 jours
tableau_vitesse

Remarques :

1/ L’équation vasicek_equilibre

donne t=∞ : b est bien la valeur d’équilibre à l’infini.

2/ Le marché attribue en général une valeur pour la vitesse a entre 0.2 et 0.6 ce qui correspond grossièrement a des demi-vies entre 1 et 3 ans et demi.

3/ La demi-vie peut s’estimer directement sur des données historiques. Attention à son utilisation en risque neutre toutefois.

 

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Réduction du risque de défaut, de contrepartie et de crédit

Comme nous l’avons déjà évoqué, dès qu’un intervenant externe intervient dans la transaction, un risque de contrepartie génère un SCR dédié que les produits soient standards comme les obligations d’entreprises ou plus complexes comme les produits dérivés, structurés ou titrisés.

La diversification des émetteurs est un premier outil de réduction du risque de perte en cas de trop forte concentration. La directive Solvabilité 2 l’incite d’ailleurs : une trop forte concentration d’un même émetteur immobilise du capital. Toutefois, comme nous l’avons déjà mentionné, elle est inefficace en cas de mouvement défavorable global de marché. Un élément important est donc de répartir son portefeuille sur différents types d’entreprises. Cette diversification sectorielle peut apporter une protection lorsque les facteurs de risque affectant les émetteurs sont limités à un domaine industriel. Dans une autre mesure, la diversification géographique peut jouer un rôle protecteur au sein même de la zone Euro. Au-delà, cela impliquerait de couvrir l’exposition à une devise (quand elle apporte un risque réel plus important que le seul risque de l’émetteur).

 

Les produits dérivés de crédit offre un accès à la protection des risques extrêmes liés à une contrepartie (cf. [3] par exemple pour une présentation générale des dérivés de crédit). L’exposition au risque de défaut des obligations d’entreprises ou des prêts peut être réduite en achetant un Credit Default Swap (CDS) qui, en échange d’un paiement de primes à échéances régulières, offre une protection (sous forme d’un remboursement du partie du principal) jusqu’à l’échéance suivante. Mais attention, dès lors qu’un transfert de risque de défaut est engagé, le risque de la contrepartie (qui accepte ce risque) doit être évalué et pris en compte à travers un SCR dédié dans le cadre de Solvabilité 2.

Au choix, la protection porte sur un seul émetteur (mono support) ou sur un ensemble d’émetteurs (macro couverture). Dans ce dernier cas, le panier d’entités de référence n’est toujours pas la réplication des émetteurs effectivement en portefeuille mais celle d’un indice de marché. Un risque de base subsiste qui entraine un risque économique réel et une réduction seulement partielle du SCR spread.

 

En allant plus loin, il existe des CDS « first to default basket » qui ne protègent que du premier événement de crédit parmi le panier, des CDS subordonnés [respectivement séniors] qui compensent les pertes d’un portefeuille en cas de défaut jusqu’à [respectivement à partir] d’un certain montant ou encore des CDS à tranches pour des pertes d’un montant compris entre deux bornes (point d’attachement et point de détachement), et également des options sur CDS (ou CD Swaptions).

Mentionnons un autre produit, les options sur spread de credit (CSO pour Credit Spread Options) dont le sous-jacent est un produit soumis au risque de spread de crédit, soit directement, soit à travers une obligation. Un put permettra à son acheteur de vendre un titre obligataire à prix évalué avec un spread fixé à l’avance (c’est le spread d’exercice). Contrairement au CDS, les CSO ne sont pas déclenchées par un événement de crédit prédéfini, mais exercées selon les variations du spread de crédit. Le SCR crédit pourra être encadré à l’aide de ces options.

 

Notons que même si une chambre de compensation intervient pour sécuriser la transaction, le risque de contrepartie de cet organisme ne doit pas être oublié.

Réduction du risque de taux

Le SCR de taux Solvabilité 2 met en évidence les écarts de duration entre les investissements et les engagements (en particulier les taux garantis et les taux techniques des différents contrats) mais également les écarts sur chaque segment de la courbe de taux. Il est en effet courant pour des engagements de retraite que les actifs détenus par les assureurs aient une duration plus faible que leur passif (ou inversement en assurance dommage), cet écart focalisant toute l’attention. Ne pas tenir compte de mouvements de la courbe de taux plus complexes que la simple translation implique des risques de pertes liés à la convexité et des coûts en termes d’immobilisation de capital.

Une première solution, évidente, est de modifier son portefeuille obligataire en allongeant ou réduisant les maturités des titres détenus. Toutefois, des ventes peuvent entraîner des mouvements indésirables sur la réserve de capitalisation. Dans ce cas, l’utilisation de produits dérivés pourra être plus appropriée.

L’objectif est de modifier la duration de l’obligation en la combinant avec un swap de taux qui échange un taux fixe contre un taux flottant ou vice versa. En effet, on rappelle que la duration d’une obligation à taux flottant est très faible. Si l’on souhaite augmenter la duration, il faut recevoir le coupon à taux fixe et payer le taux variable (swap prêteur), à l’inverse pour diminuer la duration, c’est un swap emprunteur qu’il faut conclure. Ainsi, la combinaison d’un panier de swap et d’un modèle de gamme des taux (pour analyser les déplacements non parallèles de la courbe de taux) à son portefeuille obligataire permet une gestion fine du risque de taux.

Plus élaboré, il est possible d’utiliser ces swaps comme sous-jacent de produits optionnels. Selon le besoin on achète alors une swaption sur swap payeur ou receveur de taux fixe. D’autres produits optionnels, les caps bénéficient de (donc couvrent) la hausse de taux à condition que le mouvement de taux génèrent un profit supérieur à la prime et plafonnent (ou capent) le coût d’un emprunt à taux variable. Les floors bénéficient d’une baisse de taux et ainsi fixent un plancher minimum (le floor) de rémunération à un emprunt à taux variable. Leurs combinaisons, tel le collar, permettent d’affiner les positions en fonction des anticipations.

Ces produits dérivés engendrent un risque de défaut de la contrepartie sur les intérêts (non le principal) et donc un coût en capital associé. De plus, par exemple pour un swap, l’écart de notation entre les deux intervenants est rémunéré par un spread qui s’ajoute ou se soustrait selon. Leur utilisation ne peut donc se borner à une simple analyse de taux.

Anticiper les taux

Présentation Taux

Modèle de Taux pour la Gestion Active

 

Ce billet vous présente en quelques diapositives un petit modèle sans prétention mais assez efficace pour projeter toute une courbe de taux à partir de quelques anticipations, selon l’horizon choisi.

Cet outil a été développé pour un fonds monétaire à gestion active et pour fonds flexible afin d’aider à la prise de positions et de challenger les opinions du gérant (cohérence dans les projections, stress de marché par exemple). La finalité est de produire de l’information sur les contrats effectivement négociés dans le marché (et non sur une courbe reconstituée, forcément artificielle).

Pour obtenir la présentation, cliquez ici (Mot de Passe : GestionTaux)

Le choix du taux sans risque

Établir une référence qui définit la rémunération d’un investissement sans risque est un exercice difficile. Cet article soulève quelques points importants et propose une solution acceptable sans être parfaite.

Sur les marchés
En pratique, et c’est loin d’être un gage de bonne réponse, le taux sans risque est défini comme le taux zéro-coupon des titres nationaux ou supranationaux les plus sûrs. Dans certaines situations, les intervenants utilisent la courbe des taux Euribor (ou Libor) lorsqu’il s’agit d’analyser les titres à court-terme ou à taux variables. Dans d’autres cas, c’est la courbe des taux swaps standards qui est retenu, pour les dérivés de crédit par exemple.
Ces deux derniers choix sont perturbants : ils introduisent clairement un risque bancaire, loin d’être négligeable. Quant aux titres d’États, la sécurité de certains a été fortement chahutée depuis 2007.

La liquidité
Toutefois, ces approches mettent en évidence la nécessité d’ajouter une autre composante au terme sans risque, c’est la notion de temps : maturité de zéro-coupon, courbe de taux. Le taux d’intérêt étant la compensation économique d’un abandon de la part du prêteur de la disponibilité de sa monnaie, la question de la durée pendant laquelle il accepte cette indisponibilité devient central dans la définition du taux sans risque.
Par exemple, pour un investisseur particulier, sa banque peut-être considéré sans risque à 15 jours, mais sur 10 ans, ceci n’est pas certain.

Point de vue
L’exemple précédent soulève la remarque suivante : le taux sans risque ne dépend pas seulement de l’emprunteur (l’État, une banque centrale) mais également du prêteur.
Reprenons notre investisseur particulier. Pour un patrimoine inférieur à 22950€, le taux sans risque (garanti par l’État français) peut être celui de la rémunération du livret A, à condition de placer (prêter) sa monnaie pour une durée multiple d’un demi-mois. Bien évidemment, pour une entreprise, il s’agit d’une autre référence, par exemple le taux d’intérêt qui rémunère sa trésorerie (en banque…). Enfin, il est possible que l’investisseur n’est pas accès à un taux réellement sans risque.

Fiscalité et autre frais
Ceci nous amène à  considérer la fiscalité attachée à la production d’un intérêt, a fortiori s’il est supposé acquis sans risque. Car l’intérêt effectivement touché a supporté un prélèvement qui dépend du statut fiscal de celui qui le perçoit. De plus, certains frais liés à la transaction peuvent s’ajouter.

Comment s’en sortir ?
A ce stade, nous voyons que le taux sans risque devrait prendre en compte les contraintes qui s’imposent à chaque type d’investisseur. Difficile alors d’en donner une définition applicable à chacun.
Imaginons un portefeuille de titres. Il est possible que plusieurs horizons d’investissement s’y superposent. Est-ce qu’il faut alors considérer plusieurs taux sans risque, pour un seul et même investisseur ? Lorsqu’il s’agit de faire des calculs de manière industrielle, ceci n’est pas possible.

Je suggère de retenir les paramètres suivant :
1. Le premier est l’horizon d’investissement le plus court au sein du portefeuille de titres considéré. Cet horizon indique l’exigence de liquidité optimale que vous souhaitez sur le portefeuille. Il pourra s’agir de la journée, de la semaine,…
2. L’horizon en tête, soit vous avez besoin de pouvoir investir dans un taux sans risque et alors vous identifiez le taux d’intérêt qui vous est accessible par l’intermédiaire en qui vous avez le plus confiance, soit  vous n’avez pas besoin d’investir sans risque et vous utilisez une référence (monétaire, obligataire) présente sur le marché qui vous concerne :  ici pour l’Euro, l’EONIA, l’EURIBOR, le taux de rémunération des deposit des chambres de compensation, le TAM, le T4M,… (les deux derniers devenant désuets)
3. Selon le besoin, ce taux sera ou non net de fiscalité.

Pour résumer
Un taux par zone monétaire.
L’horizon d’investissement le plus court que vous ayez.
Un taux qui vous est accessible réellement ou à défaut une référence monétaire sur cet horizon.
Avec en mémoire que : le sans risque n’existe pas ( d’ailleurs le prêteur lui même génère un risque qui lui est propre (sa survie, celle des intermédiaires qu’il a choisi,…), le taux « sans risque » est propre à chaque entité, et peut évoluer en fonction de l’évolution des objectifs de cette entité.

Un exemple
Au sein des reportings qu’une société de gestion de portefeuille produit régulièrement pour rendre compte de son travail (que les fonds soient ouverts ou dédiés), de nombreux calculs sont réalisés en utilisant un taux sans risque : le calcul du bêta d’un portefeuille (d’après le CAPM), le ratio de Sharpe et tout un tas d’indicateurs plus ou moins pertinents. Pour déterminer la référence, plusieurs critères interviennent :
– qu’elle soit dans la base de donnée, c’est donc une donnée de marché que l’on peut traiter de manière industrielle,
– qu’elle soit adaptée à la liquidité (ou la valorisation du fond). si on peut acheter vendre des parts tous les jours ou tous les mois ce n’est pas pareil et en y mettant du capital, l’investisseur accepte un placement sur cet horizon de temps minimum. Il comparera donc la rémunération « sans risque » qu’il pourrait obtenir sur ce même horizon,
– qu’elle soit adaptée à l’expression de l’objectif (EONIA + 300 points de base par exemple) si pertinent,
– qu’elle soit la plus avantageuse possible pour le reporting. Eh oui, entre deux références qui ont du sens, on prendra celle dont les résultats ressortent le mieux en général. Par exemple, plus le taux sans risque est faible plus le ratio de Sharpe sera important.

Ainsi, un fond à valorisation journalière aura pour référence l’EONIA.  En revanche, pour un hedge fund dont la fenêtre est de 6 mois, l’EURIBOR sur cette durée pourra être plus approprié, même si ce n’est pas le choix retenu par le gérant.