Mieux que le bêta

Il faut avoir en tête la raison d’être du calcul du bêta. A travers lui, nous cherchons à évaluer la « sensibilité » d’un actif relativement à un instrument de référence (un indice en général). Pour cela, nous simplifions la relation entre les performances sur une période précise de l’actif (la variable à expliquer Y) et de la référence (la variable explicative X) en supposant une relation linéaire. (voir aussi l’article Alpha et Beta, quand les praticiens utilisent la théorie.)

Or cette hypothèse n’a rien de fondé et cette relation n’est linéaire que dans des cas particuliers. Pour autant, absence de relation linéaire ne signifie pas absence de liaison et il faut des outils plus robustes pour tenter de l’apprécier.

La relation linéaire est en réalité une fonction particulière dans la recherche d’une fonction générale f(X) aussi proche que possible de Y, où X et Y sont deux variables aléatoires. Au sens des moindres carrés, on sait que f(X) = E(Y/X), l’espérance conditionnelle de Y sachant X.
Dans le cas où (X,Y) est un vecteur de loi normale, on montre que E(Y/X) = α + β X (modèle de régression linéaire déjà évoqué).
Dans le cas général, E(Y/X) a une tout autre forme que nous devons évaluer à l’aide des données disponibles.

Pour illustrer nous allons déterminer l’espérance conditionnelle de la performance quotidienne de Danone sachant la performance quotidienne de l’indice SXXE. Pour réaliser ce calcul, nous utilisons les données du 31/12/2007 au 05/09/2016 pour lesquelles le beta standard vaut 0.6482.

Nous découpons ensuite la plage de performance [-10%;+10%] en 21 intervalles (ou classes) de largeur 1% (notre niveau de précision pour cet exemple). Nous avons donc 21×21 combinaisons possibles et nous pouvons dénombrer la fréquence empirique de chacune. Ceci nous donne la loi jointe empirique de (X,Y) de laquelle on extrait notamment la loi de Y sachant X et E(Y/X).

L’espérance conditionnelle est alors donnée sous la forme d’une fonctionnelle qui à chaque niveau de X, la performance de l’indice SXXE, associe un niveau de performance de Danone. Le graphique suivant la représente ainsi que le nuage de point des classes et la régression linéaire de celui-ci.

On constate facilement que l’espérance conditionnelle n’est linéaire que sur une partie limitée de l’intervalle de performances. La droite de régression à une pente de 0.6269 qui coïncident bien  avec l’espérance conditionnelle sur l’intervalle [-5%, 5%]. Au delà, les données sont plus rares et la relation n’est plus linéaire. Toutefois, à chaque niveau de performance du SXXE en abscisse, on obtient une performance moyenne attendue pour Danone en ordonnée, ce qui donne bien la sensibilité de l’action à l’indice que l’on cherche à évaluer.